Semana 15

3. Variables aleatorias discretas unidimensionales 3.1 Definición 3.2 Distribución de probabilidad 3.3 Esperanza y  varianza

Variables aleatorias

En este tema se tratará de formalizar numéricamente los resultados de un fenómeno aleatorio. Por tanto, una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un teléfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente eléctrica, etc.

 El estudio que se hará en este tema será análogo al que se hace con las variables estadísticas en descriptiva. Así retomaremos el concepto de distribución y las características numéricas, como la media y varianza. El papel que allí jugaba la frecuencia relativa lo juega ahora la probabilidad. Esto va a proporcionar aspectos y propiedades referentes a fenómenos aleatorios que permitirán modelos muy estudiados en la actualidad.

 Distribución de probabilidad discreta 

Sea un espacio probabilista y sea X una variable aleatoria discreta que toma como posibles valores x1,x2,.....xn, se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde pi= P(X=xi), tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.


FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como: F(x) ó Fx

Para estudiar la función de distribución distinguiremos entre el caso discreto y el caso continuo.

CASO DISCRETO

 Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico, se define la función de distribución:

RxF → [ 1,0:)( ] que verifica [ ] ∑ < =≤Ρ= Ρ xxi XXxF i 


Varianza

En teoría de probabilidad, la varianza o variancia (que suele representarse como ${\displaystyle \sigma ^{2}}$) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. O en pocas palabras, es la media de los residuos al cuadrado.

Su unidad de medida corresponde al cuadrado de la unidad de medida de la variable: por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La varianza tiene como valor mínimo 0. La desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza) es una medida de dispersión alternativa, expresada en las mismas unidades que los datos de la variable objeto de estudio.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.

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bibliografia https://airtemonoce.wordpress.com/2014/01/21/propiedades-de-la-esperanza-varianza-y-covarianza/, https://es.wikipedia.org/wiki/Varianza, http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII/tema2.pdf